顶级思维模型——排列组合的思考方式

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顶级思维模型——排列组合的思考方式
顶级思维模型——排列组合的思考方式

排列组合是数学组合学中的基本概念,在高中数学中有详细的讲解,为了更好地理解和运用,这里我们再简单描述一下排列和组合的概念:

简单来说

排列就是指从给定m个数的元素中取出指定n个数的元素,进行排序。

组合则是指从给定m个数的元素中仅仅取出指定n个数的元素,不考虑排序。

基本公式描述:

排列组合的思考方式
排列组合的思考方式

公式中A(n,m)为排列数公式,C(n,m)为组合数公式。

排列与组合定义相近,它们的区别在于是否与顺序有关

排列组合是解决问题的一种思考工具

核心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数

处理排列、组合综合问题,一般思想是先选元素(组合),后排列,按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”,始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法,通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能,保证每步独立,达到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。

排列组合思维带来的启示:

  1. 创新是多种资源的重新排列组合

通过将不同种类的内容组合到一起,进而可以使之变成不可分割的整体一种思考方式,有很多创新其实就是通过组合思维来得到的,如电视+电话组合出来了新的产品可视电话、自行车+移动支付组合出来了共享单车、汽车+电池组合出来电动汽车等等。在工作生活中可以利用联想将各种可能的物品、思想组合到一起从而变成新的思想,甚至是解决当前无法解决的问题。

  1. 排列组合之分解,整合思维

万事万物都是由其构成的元数排列组合成的;思维是知识的运动,运动的知识,是知识的排列组合、取舍;前所未有的知识排列组合就是思维创新,合乎客观的有价值的思维创新的外化、物化就是理论创新、创造发明

科学研究,无非是分解、聚合事物,考察其变化形式、内容、规律、过程、结果、利害。因此,“排列组合研究法”才是对研究对象的全面分解、还原;录像、扫描、透视;点、线、面、立体、空间的考究,是最完善的宏观战略、微观战术研究方法的总成。是科学的周全的世界观、认知及研究方法。万法归一,所有其它研究方法都可谓它的子法。

解决排列组合问题的基本规律,即:分类相加,分步相乘,排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;正难则反,间接排除等。

常用的方法技巧

一.特殊元素(位置)的“优先安排法”:对于特殊元素(位置)的排列组合问题,一般先考虑特殊,再考虑其他。

例1、 用0,2,3,4,5,五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有个数?

[分析]由于该三位数为偶数,故末尾数字必为偶数,又因为0不能排首位,故0就是其中的“特殊”元素,应该优先安排,按0排在末尾和0不排在末尾分两类:1)0排末尾时,有A42个,2)0不排在末尾时,则有C21 A31A31个,由分数计数原理,共有偶数A42 + C21 A31A31=30个。

二.总体淘汰法:对于含否定的问题,还可以从总体中把不合要求的除去。如例1中,也可用此法解答:五个数字组成三位数的全排列有A53个,排好后发现0不能排首位,而且数字3,5也不能排末位,这两种排法要排除,故有A53–3A42+ C21A31=30个偶数。

三.合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题,按元素的性质进行分类,按事情发生的连续过程分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。

四.相邻问题用捆绑法:在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先整体考虑,将相邻的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法.

例2、有8本不同的书;其中数学书3本,外语书2本,其它学科书3本.若将这些书排成一列放在书架上,让数学书排在一起,外语书也恰好排在一起的排法共有多少种?

解:把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书,2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书,与其它3本书一起看作5个元素,共有A55种排法;又3本数学书有A33种排法,2本外语书有A22种排法;根据分步计数原理共有排法A55 A33 A22=1440(种).

五.不相邻问题用“插空法”:不相邻问题是指要求某些元素不能相邻,由其它元素将它们隔开.解决此类问题可以先将其它元素排好,再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置,故称插空法.

例3、用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数,要求1与2相邻,2与4相邻,5与6相邻,而7与8不相邻。这样的八位数共有多少个?

解:由于要求1与2相邻,2与4相邻,可将1、2、4这三个数字捆绑在一起形成一个大元素,这个大元素的内部中间只能排2,两边排1和4,因此大元素内部共有A22种排法,再把5与6也捆绑成一个大元素,其内部也有A22种排法,与数字3共计三个元素,先将这三个元素排好,共有A33种排法,再从前面排好的三个元素形成的间隙及两端共四个位置中任选两个,把要求不相邻的数字7和8插入即可,共有A42种插法,所以符合条件的八位数共有A22 A22 A33 A42=288(种).

六.顺序固定用“除法”:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。

例4、6个人排队,甲、乙、丙三人按“甲—乙—丙”顺序排的排队方法有多少种?

分析:不考虑附加条件,排队方法有A66种,而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有A66 ÷A33 =120种。(或A63种)

七.分排问题用“直排法”:把几个元素排成若干排的问题,可采用统一排成一排的排法来处理。

例6、7个人坐两排座位,第一排3个人,第二排坐4个人,则不同的坐法有多少种?

分析:7个人可以在前两排随意就坐,再无其它条件,故两排可看作一排来处理,不同的坐法共有A77种。

八.逐个试验法:题中附加条件增多,直接解决困难时,用试验逐步寻找规律。

九、构造模型“隔板法”: 对于较复杂的排列问题,可通过设计另一情景,构造一个隔板模型来解决问题。

例8、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解?

分析:建立隔板模型:将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板,把球分成4堆,每一种分法所得4堆球的各堆球的数目,对应为a、b、c、d的一组正整解,故原方程的正整数解的组数共有C113 .

十.排除法:对于含“至多”或“至少”的排列组合问题,若直接解答多需进行复杂讨论,可以考虑“总体去杂”,即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉,从而计算出符合条件的排列组合数的方法.

例9、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要甲型与乙型电视机各一台,则不同的取法共有多少种?

解:在被取出的3台中,不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合题意,因此符合题意的抽取方法有C93-C43-C53=70(种),故选C.

注:这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习题.

排列组合思维带来的启示:

  1. 创新是多种资源的重新排列组合

通过将不同种类的内容组合到一起,进而可以使之变成不可分割的整体一种思考方式,有很多创新其实就是通过组合思维来得到的,如电视+电话组合出来了新的产品可视电话、自行车+移动支付组合出来了共享单车、汽车+电池组合出来电动汽车等等。在工作生活中可以利用联想将各种可能的物品、思想组合到一起从而变成新的思想,甚至是解决当前无法解决的问题。

  1. 排列组合之分解,整合思维

万事万物都是由其构成的元数排列组合成的;思维是知识的运动,运动的知识,是知识的排列组合、取舍;前所未有的知识排列组合就是思维创新,合乎客观的有价值的思维创新的外化、物化就是理论创新、创造发明

科学研究,无非是分解、聚合事物,考察其变化形式、内容、规律、过程、结果、利害。因此,“排列组合研究法”才是对研究对象的全面分解、还原;录像、扫描、透视;点、线、面、立体、空间的考究,是最完善的宏观战略、微观战术研究方法的总成。是科学的周全的世界观、认知及研究方法。万法归一,所有其它研究方法都可谓它的子法。

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