数学的思维方式与基本原理

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数学以公式之优美、理论之奇妙、论证之严密、应用之广泛令人惊叹不已!究其原因,数学的思维方式发挥着巨大的威力,深深影响着其它学科的发展。

什么是数学的思维方式?
数学的思维方式是一个全过程:观察客观现象,提出要研究的问题,抓住主要特征,抽象出概念,或者建立模型。
运用解剖麻雀、直觉、归纳、类比、联想、逻辑推理等进行探索,猜测可能有的规律;采用公理化的方法,即只适用公理、定义和已经证明了的定理进行逻辑推理来严密论证,揭示事物的内在规律,从而使纷繁复杂的现象变得井然有序

一、数学的重要定理牛顿—莱布尼茨公式(微积分基本定理

若函数f(x)在[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且F(x)是f(x)的一个原函数,则,

欧氏几何公理(五条几何公理内容)

1.过相异两点,能作且只能作一直线(直线公理)。2.线段(有限直线)可以任意地延长。3.以任一点为圆心、任意长为半径,可作一圆(圆公理)。4.凡是直角都相等(角公理)。5.两直线被第三条直线所截,如果同侧两内角和小於两个直角,则两直线作延长时在此侧会相交。

非欧几何即非欧几里得几何Non-Euclidean geometry 非欧几里得几何是一门大的数学分支,一般来讲,它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里得几何不同的几何学,狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的,至于通常意义的非欧几何,就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。

伽罗瓦理论伽罗瓦完全解决了高次方程的求解问题,他建立于用根式构造代数方程的根的一般原理,这个原理是用方程的根的某种置换群的结构来描述的,后人称之为“伽罗瓦理论”

二、数学的思维方式

1、归纳思维 
归纳是人类赖以发现真理的基本的、重要的思维方法。著名数学家高斯曾说:“我的许多发现都是靠归纳取得的。

”著名数学家拉普拉斯指出:“分析和自然哲学中许多重大的发现,都归功于归纳方法…牛顿二项式定理和万有引力原理,就是归纳方法的成果。人类认识活动,总是先接触到个别事物,而后推及一般,又从一般推及个别,如此循环往复,使认识不断深化。归纳就是从个别到一般,演绎则是从一般到个别。

在数学里,发现真理的主要工具和手段是归纳和类比。”归纳是在通过多种手段(观察、实验、分析、计算……)对许多个别事物的经验认识的基础上,发现其规律,总结出原理或定理。

归纳是从观察到一类事物的部分对象具有某一属性,而归纳出该事物都具有这一属性的推理方法。或者说,归纳思维就是要从众多的事物和现象中找出共性和本质的东西的抽象化思维。

也可以说,归纳是在相似中发现规律,由个别中发现一般。从数学的发展可以看出,许多新的数学概念、定理、法则、……的形式,都经历过积累经验的过程,从大量观察、计算,然后归纳出其共性和本质的东西。

2、类比思维
著名日本物理学家、诺贝尔奖获得者汤川秀澍指出:“类比是一种创造性思维的形式。”著名哲学家康德指出:“每当理智缺乏可靠论证的思路时,类比这个方法往往能指引我们前进。”

类比是根据两个(或多个)对象内部属性、关系的某些方面相似,而推出它们在其它方面也可能相似的推理。简单地说,类比就是由此去发现彼(或由彼去发现此)。


”类比是根据两个(或多个)对象内部属性、关系的某些方面相似,而推出它们在其它方面也可能相似的推理。简单地说,类比就是由此去发现彼(或由彼去发现此)。

类比为人们思维过程提供了更广阔的“自由创造”的天地,使它成为科学研究中非常有创造性的思维形式,从而受到了很多著名科学家的重视与青睐。

例如: 著名天文学、数学家开普勒说:“我珍视类比胜于任何别的东西,它是我最可信赖的老师它能揭示自然的奥秘。

著名数学家、教育学家波利亚说:“类比是一个伟大的引路人,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题。
”实践证明:在学习过程中,将新内容与自己已经熟悉的知识。进行类比,不但易于接受、理解、掌握新知识,更重要的是:培养、锻炼了自己的类比思维,有利于自己的创造。

类比思维是一种或然性极大的逻辑思维方式,它的创造性表现在发明创造活动中人们能够通过类比已有事物开启创造未知事物的发明思路,其中隐含有触类旁通的涵义。它把己有的事和物与一些表面看来与之毫不相于的事和物联系起来,寻找创新的目标和解决的方法。

发明创造中的类比思维,不受通常的推理模式的束缚,具有很大灵活性和多样性。在发明创造活动中常见的形式有:形式类比、功能类比和幻想类比等多种类型。
形式类比包括形象特征、结构特征和运动特征等几个方面的类比,不论哪个形式都依赖于创造目标与某一装置或客体在某些方面的相似关系。

如飞机与鸟类、飞机与蜻蜒,由鸟的飞行运动制成了飞机,飞机高速飞行时机翼产生强烈振动,有人根据蜻蜒羽翅的减振结构设计了飞机的减振装置。人类根据海豚的外形设计潜艇等都是类比的结果。

功能类比是根据人们的某种愿望或需要类比某种自然物或人工物的功能,提出创造具有近似功能的新装置的发明方案,这种方法特别在仿生学研究上有广泛应用,例如各种机械手、鳄鱼夹等。

3、发散思维
所谓具有发散特性的思维是指信息处理的途径灵活多变,求结果的丰富多样。它是一种开放性的立体思维,即围绕某一问题,沿着不同方向去思考探索,重组眼前的信息和记忆中的信息,产生新的信息并获得解决问题的多种方案。

因此,也把发散思维称为求异思维,它是一种重要的创造性思维。用“一题多解”,“一题多变”等方式,发散式地思考问题,往往能找到解决问题的最优解。

4、逆向思维 
逆向思维(又称反向思维)是相对于习惯性思维的另一种思维形式。它的基本特点是从已有的思路的反方向去思考问题。它对解放思想、开阔思路、解决某些难题、开创新的方向,往往能起到积极的作用。

逆向思维也叫求异思维,它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。敢于“反其道而思之”,让思维向对立面的方向发展,从问题的相反面深入地进行探索,树立新思想,创立新形象。

当大家都朝着一个固定的思维方向思考问题时,而你却独自朝相反的方向思索,这样的思维方式就叫逆向思维。
人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法。其实,对于某些问题,尤其是一些特殊问题,从结论往回推,倒过来思考,从求解回到已知条件,反过去想或许会使问题简单化。

逆向性思维在各种领域、各种活动中都有适用性,由于对立统一规律是普遍适用的,而对立统一的形式又是多种多样的,有一种对立统一的形式,相应地就有一种逆向思维的角度,所以,逆向思维也有无限多种形式。

如性质上对立两极的转换:软与硬、高与低等;结构、位置上的互换、颠倒:上与下、左与右等;过程上的逆转:气态变液态或液态变气态、电转为磁或磁转为电等。不论那种方式,只要从一个方面想到与之对立的另一方面,都是逆向思维。

数学作为其他很多学科的基础学科,很多学科都在借鉴数学中的思维方式,而欧氏几何提出的公理化思维更是被很多科学研究的基石方法论。

数学思维的学习除了为解决问题提供工具外,就是锻炼人的逻辑思维能力,能够在面对问题的时候,理性的分析因果利弊,通过表象洞悉事物本质,然后依靠多重假设和逻辑推演来预测事物发展的所有可能性,最终解决问题。